Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Где i - номер тока; n- количество токов, сходящихся в узле.

Второй закон Кирхгофа относится к контуру и гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре.

где i - номер ветви контура; n - число ветвей, входящих в контур.

Законы Кирхгофа применяют для расчета сложных разветвленных цепей, включающих в себя несколько источников энергии.

При сложном разветвленном соединении сопротивлений и одном источнике схему целесообразно приводить к простейшему виду (Рис 2.1) и при анализе электрических цепей использовать метод эквивалентных преобразований.

Рис 2.1

Пример решения 1

Используя метод эквивалентных преобразований, найти ток, протекающий в резисторе (рис.2.2 а), если

а б

Рисунок 2.2 а – цепь по условию задачи; б – упрощенная цепь.

Решение:

1. Находим в схеме (рис. 2.2 а) элементы , соединенные параллель­но, и заменяем их эквивалентными. Схему при необходимости перечертим.

2. Находим в схеме элементы , соединенные последовательно, и заменяем их эквивалентными.

3. Такую замену будем производить до тех пор, пока схема не примет вид (рис. 2.2 б).

Тогда

Первый этап: соединены параллельно, также соединены параллельно. Следовательно,

Rэ2=2.4 Ом

Второй этап: соединены последовательно.

Значит

Третий этап: соединены параллельно. Следовательно,

Четвёртый этап: , соединены последовательно. Значит,

При расчете сложных цепей с большим количеством источников энергии рациональнее использовать метод контурных токов, позволяющий почти вдвое сократить количество уравнений.

Пример решения 2

Методом контурных токов найти токи в ветвях цепи (рис.2.3), если R1 = R3 = R6 = 5Ом; R2 = R4 = 1Ом; Е1 = Е2 = 10B; Е3 = 5В.

Рис 2.3.

Решение

1. Задаем направление токов в ветвях.

Число узлов п = 4, число ветвей п = 6. Следовательно, число независимых контуров . Исходя из этого, составляем систему из трех уравнений:

3. Контурные сопротивления будут равны:

Ом
Ом
Ом

4. Сопротивления смежных ветвей будут равны:

Ом
Ом
Ом

5. Контурные ЭДС равны:

В, В, В

6. В общем виде система уравнений выглядит так:

7. Подставляя численные значения, получим:

8. Считаем определители:

; ; ; .

9. Определяем контурные токи:

А;
А;
А;

10. Выразим токи в ветвях через контурные токи. Получим:
А;
А;
А;
А;
А;



11. Проверим правильность решения задачи по 1-му закону Кирхгофа. Получим:
для узла а) ;


для узла с) ;

Пример решения 3

Рис. 2.4. Расчет цепи по закону Ома

Для цепи, (рис. 2.4), найти токи во всех ветвях, оп­ределить ЭДС ис­точника Е и показа­ния приборов, если: R0 = 0,15 Ом; R1 = 0,7 Ом; R2 = 40 Ом; R3 = 8 Ом; R4 = 4 Ом; R5 = 2,4 Ом; R6 = 4 Ом; I2 = 0,25А.

Решение.

1. В соответствиис положительным направлением ЭДС – Е укажем направления токов во всех ветвях

2. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R2

3. Таккак R3 и R2 подключены к одной паре узлов а-b, то напряжение на резисторе R3 равно U2, и тогда I3 можно найти по закону Ома для участка цепи

4. На основании первого закона Кирхгофа для узла “b” имеем

5. Если сопротивлением амперметра пренебречь, то напряжение на участке будет равно и тогда

6. На основании норного закона Кирхгофа для узла "а" можно записать:

7. На участке R1-R0-E-R6 все элементы включены последовательно и тогда

8. Напряжение на резисторе R6 найдем на основании закона Ома

9. На основании второго закона Кирхгофа показание вольтметра

10. На основании второго закона Кирхгофа ЭДС источника

Электрические цепи переменного тока.Ток, величина и направление которого изменяются во времени, называется переменным. Из всего многообра­зия переменных токов наибольшее распространение получил ток, изменяющий­ся по синусоидальному закону. Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений .

Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным (обозначается i).

Максимальное значение синусоидального тока называется амплитудным (обозначается Im).

Действующим значением синусоидальною тока называется такой постоянный ток, который за время одного периода выделяет такое же количество теп­ла, что и данный переменный ток (обозначается I). В действующих значениях градуированы вольтметры и амперметры. Действующие и амплитудные значе­ния связаны следующим соотношением:

При анализе электрического состояния цепей расчет токов ведут либо для действующих, либо для амплитудных значений. Наиболее общим методом рас­чета цепей синусоидального тока является символический. В этом случае си­нусоидальная величина изображается вращающимся вектором, положение ко­торого на комплексной плоскости в данный момент времени описывается ком­плексным числом (символом).



Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде многочлена, например:

A=а+jb,

где а - проекция вектора на ось действительных величии;

b - проекция вектора на ось мнимых величин;

j - мнимая единица.

Алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания ком­плексных чисел.

В показательной форме комплексное число записывается и виде.

где - модуль комплексного числа,

- угол, образуемый вектором с поло­жительным направлением оси действующих величин.

Показательная форма записи удобна для умножения и деления комплекс­ных чисел.

В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде многочлена

.

Тригонометрическая форма записи позволяет легко перейти от показательной формы записи к алгебраической. При символическом расчете все уравнения для цепей постоянного тока остаются справедливыми и для цепей переменного тока с той только разницей, что все величины, входящие в них, берутся в ком­плексной форме.

Пример решения 1.

Для цепи, изображенной на рис. 2.5 , по данным значениям напряжения и сопротивлений определить показания приборов, а также полную и реактивную мощности, построить векторную диаграмму.

Начальную фазу напряжения принимают равной нулю, тогда комплекс приложенного напряжения будет равен

,

а комплексная амплитуда напряжения

.

Рис. 2.5. Параллельная цепь переменного тока

Комплекс полного сопротивления последовательно соединенных элемен­тов

R, L и C:

.

Отсюда комплексы полного сопротивления ветвей:

.

По закону Ома определяют комплексные амплитуды токов в ветвях:

По первому закону Кирхгофа находят ток в неразветвленной части цепи:

; .

Определяют комплексную мощность цепи. Комплексной мощностью называется произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока I* . Сопряженные комплексы:

Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность Р, а мнимая часть - реактивная мощность, Q.

Рис. 2.6. Векторная диаграмма параллельной цепи

Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба по току и напряжению.

В выбранных масштабах откладывают векторы напряжения и токов в соот­ветствии с рассчитанными значениями. Отсчет углов ведут от оси +1.

Положи­тельные углы откладывают в направлении, противоположном движению часо­вой стрелки. Вектор тока в неразветвленной части цепи находят сложением век­торов тока Im1 и Im2.

Пример решения 2.

В цепи, представленной на рис. 2.7 , действует напряжение , час­тотой 50 Гц. Найти показания приборов, реактивную и полную мощности, по­строить векторную диаграмму, если Um=282 В, R=3 Ом, L=19,1 мГн, С=1592,4 мкФ.

Рис. 2.7. Последовательная цепь переменного тока

Решение

1. Так как вольтметр градуирован в действующих значениях, напряжение на зажимах цепи будет равно:

2. Реактивное сопротивление индуктивности L

Комплекс индуктивного сопротивления

3. Реактивное сопротивление емкости С

Комплекс емкостного сопротивления

4. Комплекс полного сопротивления цепи

5. Начальную фазу напряжения, приложенного к зажимам цепи, принимают равной нулю, тогда комплексная амплитуда напряжения на зажимах цепи

6. Комплексная амплитуда тока находится по закону Ома

Показание амперметра .

7. Комплексная амплитуда напряжения на участке R

Показание вольтметра на участке R

8. Комплексная амплитуда напряжения на участке L

Показание вольтметра на участке L

9. Комплексная амплитуда напряжения на участке С

Показание вольтметра на участке С

Рис. 2.8. Векторная диаграмма последовательной цепи

10. Комплексная полная мощность цепи:

Полная мощность S=8000 ВА.

Действительная часть комплексной полной мощности есть показание ватт-метра

P=4814,5 Вт.

Мнимая часть комплексной полной мощности есть мощность реактивная

Q=6389 Вар

11. Разность фаз между напряжением и током

12. Показание фазометра

При построении векторной диаграммы в выбранных масштабах тока и на­пряжения строят векторы тока и напряжений, комплексные амплитуды которых рассчитаны. Положительные углы отсчитываем от оси действительных величин в направле­нии, противоположном движению часовой стрелки.

Вектор напряжения, приложенного к зажимам цепи, находится путем сло­жения UmR UmL и UmC по правилам сложения векторов.

Трехфазные электрические цепи. Совокупность электрических цепей, в которых одним источником энергии создаются три синусоидальные электро­движущие силы одинаковой частоты и амплитуды, векторы которых сдвинуты относительно друг друга на угол 120°, называется трехфазной системой или трехфазной цепью. Каждая из цепей, входящих в трехфазную систему, называ­ется фазой; обозначения фаз - А, В, С. Токи, протекающие в фазах приемника, называются фазными.

Трехфазные приемники могут быть включены звездой или треугольни­ком; они могут быть симметричными или несимметричными. Приемник назы­вается симметричным, если комплексы полных сопротивлений его фаз равны, т.е. Za=Zb=Zc.

Звезда - это такое соединение, при котором концы фаз, обозначаемые бук­вами х, у, z, соединяются в один узел, который называется нейтральной точкой,а начала фаз, обозначаемые буквами а, b, с, соединяются с источником. Нейтральная точка приемника соединяется с нейтральной точкой источника. Провода, соединяющие начала фаз приемника и источника, называются линейными; в них протекают линейные токи. Провод, соединяющий нейтральные точки, называется нейтральным, или нулевым.

Треугольник - это такое соединение, при котором конец предыдущей фа­зы соединяется с началом последующей.

Одним из достоинств трехфазных систем является наличие двух рабочих напряжений - фазного и линейного.

Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы.

Линейным напряжением называется напряжение между началами двух фаз.

Для приемников, включенных по схеме "звезда" с нейтральным проводом, выполняются следующие соотношения:

Ток в нейтральном проводе может быть найден также из векторной диа­граммы.

Для приемников, включенных по схеме треугольник, выполняются соотношения:

Однако, если приемник несимметричный, линейные токи указанному со­отношению не подчиняются и могут быть найдены либо аналитически, как раз­ности комплексов фазных токов:

либо из векторной диаграммы.

Здесь IA, IB, IC - комплексы токов в линейных проводах;

Ia, Ib, Ic - комплексы фазных токов в фазах приемника.

При расчете комплексов токов в фазах приемника они определяются от­дельно для каждой фазы на основании закона Ома.

Здесь , , - комплексы фазных напряжений;

Za, Zb, Zc - комплексы полных сопротивлений фаз.

Пример решения 1

Для активно-индуктивного приемника, включенного по схеме "звезда" с нейтральным проводом (рис. 2.9) в сеть с линейным напряжением Uл=380 В, найти фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, активные мощности отдельных фаз и активную мощность приемника, если Ra=3 Ом, Rb=4 Ом, Rc=6 Ом, Хa=4 Ом, Хb=3 Ом, Хc=8 Ом.

1. Находят действующее значение фазного напряжения

2. Начальную фазу напряжения в фазе "а" принимают равной нулю, тогда комплексы фазных напряжений будут:

3. Определяют комплексы полных сопротивлений фаз приемника:

4. Вычисляют комплексы фазных токов:

5. Так как приемник включен «звездой», линейные токи равны фазным

Рис. 2.9. Трехфазная цепь

6. Находят ток в нейтральном проводе

Действующее значение тока в нейтральном проводе:

7. Определяют комплексные полные мощности фаз приемника

Активная мощность фазы "а": Ра=5825 Вт.

Реактивная мощность фазы "а": Qa=7730 Вар.

Активная мощность фазы "b": Рb=7730 Вт.

Реактивная мощность фазы "b": Qb=5825 Вар.

Активная мощность фазы "с": Pc=2912 Вт.

Реактивная мощность фазы "с": Qc=3865 Bap.

8. Вычисляют активную мощность приемника.

Активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощ­ностей отдельных фаз.

Для удобства построения векторной диаграммы поворачивают оси коорди­нат на 900 в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

В выбранном масштабе откладываются векторы фазных напряжений. Векторы фазных напряжений строят в соответствии с расчетными значениями комплексов фазных токов. Положительные углы откладывают в

Рис. 2.10. Векторная диаграмма трехфазной цепи

сторону, проти­воположную движению часовой стрелки, от оси действительных величин. Век­тор тока в нейтральном проводе находится сложением векторов фазных токов по правилам сложения векторов.


6092755328577089.html
6092780412635534.html
    PR.RU™